Definition der Ableitung (2025)



Definition der Ableitung
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Differenzierbarkeit

Definition der Ableitung (1) Differenzierbarkeit (Definition)

Eine Funktion f heißt differenzierbar an der Stelle Definition der Ableitung (2), wenn der Grenzwert

Definition der Ableitung (3)

existiert. Man nennt diesen Grenzwert Ableitung von Definition der Ableitung (4) an der Stelle Definition der Ableitung (5).

Definition der Ableitung (6) Bezeichnung

Definition der Ableitung (7).

Definition der Ableitung (8) Differenzierbarkeit (Definition)

Es sei die Funktion Definition der Ableitung (9)in einer Umgebung von Definition der Ableitung (10) definiert. Existiert eine ZahlDefinition der Ableitung (11) und eine Funktion Definition der Ableitung (12) mit

Definition der Ableitung (13), so dass

Definition der Ableitung (14)

so heißt die FunktionDefinition der Ableitung (15) in Definition der Ableitung (16) differenzierbar.

die Zahl Definition der Ableitung (17) wird ihre Ableitung in Definition der Ableitung (18) genannt, in Zeichen Definition der Ableitung (19).

Die ganze lineare Funktion Definition der Ableitung (20)

wird der lineare Anteil vonDefinition der Ableitung (21) an der Stelle Definition der Ableitung (22) genannt.

Definition der Ableitung (23) Differenzierbarkeitsbereich (Definition)

Die Menge aller Stellen des Definitionsbereichs vonDefinition der Ableitung (24), an denen Definition der Ableitung (25) differenzierbar ist, heißt Differenzierbarkeitsbereich vonDefinition der Ableitung (26).

Definition der Ableitung (27)

Definition der Ableitung (28)

weil Definition der Ableitung (29)

Definition der Ableitung (30)

Alt:

Definition der Ableitung (31)

Die Ableitung einer Funktion entsteht durch die Grenzwertberechnung einer Funktion Definition der Ableitung (32).

Definition der Ableitung (33)

Dieser Ausdruck führt zur Ableitung einer Funktion.

Definition der Ableitung:

Definition der Ableitung (34)

Der Grenzwert Definition der Ableitung (35)wird bestimmt, indem das Inkrement am Schluss der Berechnungen im Ausdruck dahinter auf null gesetzt wird.

Dabei ist Definition der Ableitung (36).

Zuerst wird eine Differenz von dieser Inkrementfunktion Definition der Ableitung (37) und der ursprünglichen Funktion Definition der Ableitung (38) voll durchgerechnet und dann nach dem Kürzen das Inkrement auf null gesetzt.

Beispiel

Berechne den Grenzwert von Definition der Ableitung (39).

Benutze die Definition der Ableitung.

Setze Definition der Ableitung (40) in die Definition ein, wobei der erste Term um das Inkrement Definition der Ableitung (41) erweitert wird.

Definition der Ableitung (42)

Definition der Ableitung (43)

Definition der Ableitung (44)

Rechne die binomische Formel aus.

Definition der Ableitung (45)

Nach der Subtraktion verschwinden der erste und der letzte Term.

Definition der Ableitung (46)

Kürze mit dem Inkrement.

Definition der Ableitung (47)

Setze das Inkrement auf null. Ergebnis:

Definition der Ableitung (48)

Anmerkung:

Beim Ausrechnen von höheren Potenzen kommt es nur darauf an, ob ein „schlichtes“ Inkrement vorliegt. Inkremente mit Potenzen ab zwei werden ja auf null gesetzt und machen ihr Produkt auch zu null.

Beispiel

Berechne die Ableitung der Funktion:

Definition der Ableitung (49)

Aufgelöst in ein Binom ergibt:

Definition der Ableitung (50)

Rechne die zweite Klammer aus.

Definition der Ableitung (51)

a) Multipliziere den Faktor Definition der Ableitung (52) mit dem zweiten Klammerausdruck.

Definition der Ableitung (53)

Das quadrierte Inkrement Definition der Ableitung (54) braucht man nicht mehr multiplizieren. Es hat ja eine höhere Potenz.

Definition der Ableitung (55)

b) Multipliziere das Inkrement Definition der Ableitung (56) mit dem zweiten Klammerausdruck.

Definition der Ableitung (57)

Die Multiplikation des Inkrements mit einem anderen Inkrement würde zu höheren Potenzen führen. Sie kann entfallen.

Definition der Ableitung (58)

c) Resultat

Setze die Teilergebnisse aus (a) und (b) zusammen.

Definition der Ableitung (59)

Definition der Ableitung (60)

Definition der Ableitung (61)

Bei der Ableitung Definition der Ableitung (62) wird der erste Term Definition der Ableitung (63) wegsubtrahiert. Das „schlichte“ Inkrement Definition der Ableitung (64) wird weggekürzt.

Definition der Ableitung (65)

Ergebnis:

Definition der Ableitung (66)

Definition der Ableitung (67)

Die Nullstelle der 2. Ableitungzeigt uns denx-Wert für den Extrempunkt der 1. Ableitung. Dieser wiederum zeigt uns, wo die Ausgangsfunktionseinen Wendepunkt hat.

Infinitesimalrechnung

In diesem Kapitel lernt Ihr ganz viel über große und ganz kleine Zahlen und die Unendlichkeit. Zwei große Mathematiker beschäftigten sich mit dem Unendlichen und schufen die Infinitesimalrechnung diesem schwierig aussprechbaren Wort steckt der Begriff des Unendlichen, auf Lateinisch „infinit“ (unbegrenzt). Da geht es um winzige Zahlen und Grenzzahlen, Zahlen die an der Grenze zum Unendlichen liegen.Über diese Zahlen werdet ihr bald mehr erfahren.


Definition der Ableitung (68)


Gottfried Wilhelm von Leibniz


Das ist also Herr Leibniz, der Mann mit der Perücke. Sein Kollege aus England hat sich auch so einen „Mopp“ aufgesetzt. Das war damals im 17. Jahrhundert Mode.


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Isaac Newton

Die Differenzialrechnung ist eine spezielle Art der Berechnung von Differenzverhältnissen, und zwar winzig kleine, mikroskopisch kleine Zahlenverhältnisse von Höhe und Breite, wobei die Breite immer kleiner wird, was anscheinend so manche Frauen zum Vorbild nehmen und abnehmen, bis sie nur noch ein Strich in der Landschaft sind. Wenn die Breite fast beim Nullpunkt angelangt ist, spricht man von einem Differenzial.

So ist das in der Mathematik. Die Unendlichkeit, wie man sie aus der Religion kennt, taucht hier unübersehbar auf und führt zu überraschenden Ergebnissen.

Interessant ist auch die Betrachtung des Zuwachses von x und y. Das wird mit dem griechischen Buchstaben Δ (Delta) ausgedrückt.

Definition der Ableitung (70)

Der Zuwachs von y ist abhängig vom Zuwachs von x.

Formt man diese einfache Gleichung um, dann ergibt sich eine in der Analysis häufig benutzter Begriff, dem der Steigung oder dem Gefälle, je nach dem Vorzeichen des Koeffizienten a. Ein negatives Vorzeichen ist ein Gefälle.

Definition der Ableitung (71)

Die Steigung ist a. Sie ist konstant. Sie wurde durch einfaches Umstellen der Zuwachsgleichung gebildet.

Dieses Zuwachsverhältnis kann man weiterspinnen, indem man den Zuwachs von x gegen 0 wandern lässt, ihn also ganz, ganz winzig werden lässt. Dadurch ändert das Zuwachsverhältnis seine Qualität. Aus einer normalen Differenz wird ein Differenzial, eine wirklich winzige Differenz, mit der man hervorragend rechnen kann.

Formal

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Das Kürzel „lim“ bedeutet Limes („Grenze“), was aus dem Lateinischen stammt. Es soll besagen, dass bei der Grenze 0 die Differenz in ein Differenzial umspringt, das statt des griechischen Buchstabens nun einen lateinischen Buchstaben erhält. Dadurch weiß jeder Mathematiker, hier liegt ein Differenzial vor. Das wird auch durch den Hochstrich bei dem f angedeutet. Das Kürzel f soll stellvertretend für eine beliebige Funktion stehen. Die Variable x in Klammern hinter diesem Funktionszeichen ist notwendig, damit man weiß, worauf sich das Differenzial bezieht, wie es gebildet wurde. Sehr häufig wird das x genommen. Es könnte aber auch jeder andere Buchstabe sein.

In die lineare Funktion kann man statt des Koeffizienten a das Differenzial einsetzen. Das sieht dann etwas ungewohnt aus:

Definition der Ableitung (73)

Hier wird deutlich, dass der Koeffizient eigentlich ein Differenzial ist. Wenn man die Steigung einer linearen Funktion errechnen möchte, braucht man bloß die unabhängige Variable x wegnehmen. Übrig bleibt die Steigung a oder dy/dx der Funktion. Diese Rechenart nennt man dann Differenzialrechnung.

Grenzwerte gegen unendlich

Die Grenzwerte der Folgen für Definition der Ableitung (74)sollen bestimmt werden. Es kommt hier immer darauf an, die Variable n in den Nenner zu bekommen. Dann wird der Quotient beim Einsetzen von Definition der Ableitung (75)zu 0. Je größer der Nenner wird, umso kleiner wird der Quotient.

Diese Wirkung wird bei den Wählern meist nicht beachtet, wenn sie von der gewählten Regierung fordern, Milliarden Euros auf zig-Millionen Bürger zu verteilen (als Transferleistungen aller Art, Steuererleichterungen, Sozialhilfe, Rentenbeihilfen, Kindergeld, Sozialwohnungen, Pensionen…). In diesem Fall ist der Nenner trotz eines großen Zählers ebenfalls sehr groß, was zu einem kleinen Quotienten führt. Der Einzelne kann also gar nicht so viel kriegen, wie er gefühlt meint zu bekommen.

Beispiel

Definition der Ableitung (76)

Definition der Ableitung (77)

Wenn die Regierung eine Milliarde Euros an zehn Millionen Bürger verteilen würde, bekäme jeder einmalig nur 100 Euro!

Bei den mathematischen Grenzwerten geht es um die Unendlichkeit. Hier werden die Quotienten wirklich 0, wenn die Nenner unendlich gesetzt werden.


Übergeordnet

Differenzialrechnung


Untergeordnet

Ableitung einer Funktion nach t
Ableitung einer Funktion nach x
Ableitung einer Funktion nach y
Ableitungsfunktion
Differenzialoperator
Differenzierbarkeit
Extremwerte
Höhere Ableitungen
Rechts- und linksseitige Ableitung
Summenkonvention mit dem Index k

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